Revista Brasileira de Educação do Campo
The Brazilian Scientific Journal of Rural Education
ARTIGO/ARTICLE/ARTÍCULO
DOI: http://dx.doi.org/10.20873/uft.rbec.e7879
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
1
Este conteúdo utiliza a Licença Creative Commons Attribution 4.0 International License
Open Access. This content is licensed under a Creative Commons attribution-type BY
Educação matemática realística: uma abordagem teórico-
metodológica para o ensino de matemática nas escolas do
campo
Marcos Guilherme Moura-Silva
1
,
Rayza de Oliveira Souza
2
, Tadeu Oliver Gonçalves
3
, Ruy Guilherme Braga Borges
4
1, 2, 3, 4
Universidade Federal do Pará - UFPA. Instituto de Educação Matemática e Científica. Rua Augusto Corrêa, 1, Guamá.
Belém - PA. Brasil.
Autor para correspondência/Author for correspondence: marcosgmouras@yahoo.com.br
RESUMO. O movimento por uma Educação do Campo ainda
carece de investigações de pressupostos teórico-metodológicos
para o campo didático, pautadas no estudo de práticas de ensino
que considerem o objeto de conhecimento e, ao mesmo tempo,
valorize o aspecto realístico/contextual onde o aluno está
inserido. Nessa perspectiva, investigamos as implicações
teórico-metodológicas da teoria da Educação Matemática
Realística (EMR) para o ensino de matemática na escola do
campo. Baseados em uma abordagem metodológica qualitativa,
elaborou-se uma trajetória hipotética de aprendizagem
fundamentada nos princípios da EMR relacionada ao ensino de
geometria analítica, a partir da prática de gabaritagem de terra
no cultivo do Maracujá (passiflora edulis). Nossos resultados
apontam a EMR como uma via teórico-metodológica promissora
de exploração didática para o contexto do campo capaz de
promover raciocínios formais, conceitos em situações
realísticas, apropriação de linguagem matemática e potencial
para o desenvolvimento de conceitos no ramo da geometria
cartesiana.
Palavras-chave: Educação Matemática Realística, Modelos
Emergentes, Geometria Analítica, Escola Rural. Educação do
Campo.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
2
Realistic Mathematic Education: a theoretical-
methodological approach to the teaching of mathematics in
countryside schools
ABSTRACT. The movement for a Rural Education still lacks
investigations of methodological theoretical assumptions for the
didactic field, based on the study of teaching practices that
consider the object of knowledge and, at the same time, value
the realistic/contextual aspect in which the student is inserted.
From this perspective, we investigate the methodological
theoretical implications of the theory of Realistic Mathematical
Education (EMR) for the teaching of mathematics in the
countryside school. Based on a qualitative methodological
approach, a hypothetical learning path was elaborated based on
the principles of EMR related to the teaching of analytical
geometry, from the practice of soil modeling in passion fruit
(passiflora edulis) cultivation. Our results point to the EMR as a
promising methodological theoretical approach of didactic
exploration to the countryside context capable of promoting
formal reasoning, concepts in realistic situations, appropriation
of mathematical language and potential for the development of
concepts in the field of Cartesian geometry.
Keywords: Realistic Mathematics Education, Emerging
Models, Analytical Geometry, Countryside School, Rural
Education.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
3
Educación Matemática realista: un enfoque teórico-
metodológico para la enseñanza de las matemáticas en las
escuelas rurales
RESUMEN. El movimiento para una Educación del Campo aún
carece de investigaciones de supuestos teóricos metodológicos
para el campo didáctico, basados en el estudio de prácticas de
enseñanza que consideran el objeto del conocimiento y, al
mismo tiempo, valoran el aspecto realista / contextual en el que
se inserta el estudiante. Desde esta perspectiva, investigamos las
implicaciones teóricas metodológicas de la teoría de la
Educación Matemática Realista (EMR) para la enseñanza de las
matemáticas en la escuela del campo. Basado en un enfoque
metodológico cualitativo, se elaboró un camino de aprendizaje
hipotético basado en los principios de EMR relacionados con la
enseñanza de la geometría analítica, a partir de la práctica del
modelado del suelo en el cultivo de maracuyá (passiflora
edulis). Nuestros resultados apuntan a la RME como un enfoque
teórico metodológico prometedor de la exploración didáctica en
el contexto rural capaz de promover el razonamiento formal, los
conceptos en situaciones realistas, la apropiación del lenguaje
matemático y el potencial para el desarrollo de conceptos en el
campo de la geometría cartesiana.
Palabras clave: Educación Matemática Realista, Modelos
Emergentes, Geometría Analítica, Escuela Rural. Educación del
Campo.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
4
Introdução
O movimento por uma Educação do
Campo ainda carece de investigações de
pressupostos teórico-metodológicos para o
campo didático, pautadas no estudo de
práticas de ensino que considerem o objeto
de conhecimento e, ao mesmo tempo,
valorizem o aspecto realístico/contextual
onde o aluno está inserido. De modo geral,
poucas práticas didáticas matemáticas
estão disponíveis para auxiliar o professor
em sala de aula nas escolas do campo, de
modo a efetivar os princípios da Educação
do Campo no chão desses espaços.
Na perspectiva do desempenho
acadêmico, o cenário também se mostra
crítico e carece de intervenção, pois se
estima que alunos das escolas rurais
brasileiras tenham uma média de
desempenho em matemática menor que
alunos das escolas urbanas. Dados
divulgados pelo Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira (INEP) mostram que, nas escolas
rurais, somente 6% dos alunos do 5º e do 9º
ano do Ensino Fundamental apresentam um
desempenho adequado em matemática, o que
corresponde à metade do verificado em
escolas urbanas (INEP, 2011). Resultados
mais recentes, advindos de avaliação em
larga escala, continuam evidenciando essa
disparidade, quando comparados o nível de
proficiência entre os alunos do ensino
público urbano e rural, uma média de 28,69
pontos de diferença (INEP, 2018).
Pautados em tais conjunturas, e, no
intuito de produzir investigações voltadas
ao ensino de matemática para escolas
campesinas visando alcançar um potencial
impacto no desempenho matemático dos
alunos que ali estudam, trazemos para o
debate os pressupostos da teoria da
Educação Matemática Realística,
destacando-a como uma via promissora de
exploração didática para o contexto do
campo.
Nosso estudo apresentará os
conceitos e fundamentos da teoria da
Educação Matemática Realística (EMR),
seguido de procedimentos metodológicos
com a discussão dos principais achados.
Almejamos estabelecer a EMR como uma
abordagem teórico-metodológica para o
ensino de matemática nas escolas do
campo a ser explorada tanto em sala de
aula pelo professor, quanto na arena de
inquéritos em “Educação do campo” por
parte dos pesquisadores.
Educação Matemática Realística_EMR
A teoria de designer instrucional da
Educação Matemática Realística – EMR
(em inglês, Realistic Mathematics
Education - RME) teve suas origens na
década de 1970, na Holanda, no esforço
universal de melhorar o pensamento
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
5
matemático. Ela se baseia na interpretação
de Hans Freudenthal que concebeu a
matemática como uma atividade humana
(Freudenthal, 1983; Gravemeijer, 1994).
De algum modo, a EMR guarda
semelhança com os “centros de interesse”
de Decroly (Gravemeijer 1994, 1999;
Gravemeijer & Terwel, 2000).
Na perspectiva de Freudental (1983),
os alunos devem aprender matemática
através de um processo de matematização
progressiva,
i
baseando-se em problemas
contextuais reais ou matematicamente
autênticos. A esse respeito, nota-se que a
teoria da EMR é primariamente uma
proposição sobre construção de
conhecimento, ela não se atém a motivar
os alunos em contextos de vida cotidiana,
mas a fornecer contextos
experiencialmente reais de modo a serem
usados naquele processo de matematização
progressiva (Gravemeijer, 1999). De fato,
a “EMR é voltada a capacitar os alunos a
inventar seus próprios métodos de
raciocínio e estratégias de solução, levando
a um entendimento conceitual mais forte”.
(Rasmussen & Blumenfeld, 2007, p. 198).
Os problemas contextuais objetivam
um processo de reinvenção por parte dos
alunos para lidar com a matemática formal
e devem ser realísticos, do ponto de vista
de fornecerem elementos para imaginar,
realizar, fazer ideia, e, por sua vez, tornar-
se real na mente dos estudantes. Isso
sugere que problemas contextuais não
precisam ser autenticamente reais, mas
precisam ser imagináveis, realizáveis,
concebíveis (Van Den Heuvel-Panhuizen,
2005; Ferreira & Buriasco, 2016).
A partir de um problema contextual,
os alunos poderão extrair informações e
usar estratégias informais por tentativa e
erro para resolver o problema. Esse nível,
na EMR, é denominado matematização
horizontal. A tradução dessas informações
para uma linguagem matemática, fazendo
uso de símbolos e progredindo para
seleção de algoritmos, como uma equação,
por exemplo, é denominada matematização
vertical (Figura 1). Trata-se de um
processo envolvendo a resolução da
situação-problema em diferentes níveis.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
6
Figura 1. Matematização horizontal e matematização vertical.
Fonte: Gravemeijer (2004).
Os problemas contextuais são
considerados elementos chaves na EMR, e
devem ser capazes de formar conceitos e
modelos (Treffers & Goffree, 1985).
Ferreira e Buriasco (2015, p. 457),
baseadas em De Lange (1987), classificam
os problemas contextuais em primeira,
segunda e terceira ordem, de acordo com
seus objetivos e potencialidades de
matematização, como segue:
Contexto de Zero Ordem: É
utilizado para tornar o problema
parecido com uma situação da vida
real. Denominados por De Lange
(1999) de “contexto falso”, “contexto
de camuflagem”. Problemas que
contêm esse tipo de contexto devem
ser evitados; Contexto de Primeira
Ordem: É aquele que apresenta
operações matemáticas “textualmente
embaladas”, no qual uma simples
tradução do enunciado para uma
linguagem matemática é suficiente
(De Lange, 1987). Esse tipo de
contexto é relevante e necessário para
resolver o problema e avaliar a
resposta; Contexto de Segunda
Ordem: É aquele com o qual o
estudante é confrontado com uma
situação realística e dele é esperado
que encontre ferramentas
matemáticas para organizar,
estruturar e resolver a tarefa (De
Lange, 1987). Esse tipo de contexto,
segundo De Lange (1999), envolve
matematização ao passo que, nos
contextos de primeira ordem, os
problemas já são pré-matematizados;
Contexto de Terceira Ordem:
Como aquele que possibilita um
“processo de matematização
conceitual”, esse tipo de contexto
serve para “introduzir ou desenvolver
um conceito ou modelo matemático”.
(De Lange, 1987, p. 76, grifos do
autor).
Avançando no entendimento dos
fundamentos da EMR para além dos
problemas contextuais e suas
classificações, Treffers (1987) definiu
cinco princípios para a Educação
Matemática Realista, a saber:
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
7
Quadro 1. Princípios da Educação Matemática Realística
Exploração fenomenológica
A atividade matemática não é iniciada a partir do nível formal, mas a partir
de uma situação que é experiencialmente real para o aluno.
Uso de modelos e símbolos para a
matematização progressiva
O segundo princípio da EMR é sair do nível do concreto para o nível mais
formal usando modelos e símbolos.
Uso da própria construção dos
alunos
Os alunos são livres para usar e encontrar suas próprias estratégias para
solucionar problemas bem como para desenvolver o próximo processo de
aprendizagem.
Interatividade
O processo de aprendizagem dos alunos não é somente individual, mas
também um processo social.
Interconexão
O desenvolvimento de uma visão integradora da matemática, conectando
vários domínios da matemática pode ser considerada uma vantagem dentro
da EMR.
Fonte: Baseado em Treffers (1987).
Uma heurística central da EMR,
abrangente a todos esses princípios,
denomina-se modelos emergentes, capazes
de promover nos alunos modos de
raciocínio para o desenvolvimento da
matemática formal (Gravemeijer, 1999).
Zandieh e Rasmussen (2010)
definem modelos como formas de
organizar uma atividade, seja a partir de
ferramentas observáveis, como gráficos,
diagramas e objetos, ou ferramentas
mentais, referindo-se as maneiras pelos
quais os alunos pensam e raciocinam
enquanto resolvem um problema (Treffers
& Goffree, 1985; Treffers 1987, 1991;
Gravemeijer, 1994). Os modelos são
chamados emergentes no sentido de que as
várias formas de criar e usar ferramentas,
gráficos, análises, expressões, emergem de
modo concomitante às formas de
raciocínio cada vez mais sofisticadas.
A heurística do modelo emergente
envolve quatro níveis para o
desenvolvimento desse raciocínio
matemático, indo do nível situacional até o
nível formal, elucidados na figura abaixo:
Figura 2. Níveis da modelagem emergente: do
raciocínio situacional ao formal.
Fonte: Gravemeijer (2004).
A intenção é que a cada nível de
modelagem emergente a atividade
matemática dos alunos mude de uma
solução contextual (modelo de) para uma
solução mais geral (modelo para)
(Gravemeijer, Bowers & Stephan, 2003).
O nível situacional é o nível básico
dos modelos emergentes, onde os alunos
trabalham em direção a metas matemáticas
dentro de um problema contextual. Neste
nível, os alunos ainda podem usar seus
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
8
próprios simbolismos e modelos
relacionados, independente dos rigores
conceituais matemáticos e da configuração
do problema contextual. O nível
referencial envolve a construção de
modelos baseados na configuração inicial
da tarefa. Os modelos pensados
inicialmente são ajustados de acordo com o
problema contextual. No nível geral os
modelos construídos não dependem da
configuração da tarefa original.
Finalmente, o nível formal envolve um
raciocínio com simbolismos convencionais
que reflete uma nova realidade matemática
perante o problema contextual inicialmente
posto.
Em síntese, os modelos surgem em
contextos específicos e se referem às
situações concretas, experienciais e reais
aos alunos, associando-se ao princípio da
“exploração fenomenológica” da EMR.
Neste nível, os modelos devem permitir
estratégias informais para resolução do
problema contextualizado. A partir de
então, o modelo muda seu papel, e os
alunos poderão estabelecer relações e
estratégias matemáticas, relacionando-se
com o princípio do “uso de modelos e
símbolos para uma matematização
progressiva”. Como consequência, tal
modelo vai tomando um caráter mais
objetivo e próximo ao nível da matemática
formal. Assim, a EMR defende que a
modelagem de atividades matemáticas
informais desenvolve um modelo de
raciocínio matemático mais formal,
podendo melhorar o nível do entendimento
matemático e o processo de ensino-
aprendizagem. Essa discussão se torna
crítica quando consideramos o campo de
inquérito da Educação do Campo, onde
uma de suas bandeiras é justamente a
inserção do contexto experienciado pelo
aluno no processo didático.
Caminho Metodológico
A pesquisa assume uma abordagem
qualitativa, seguindo os pressupostos
teórico-metodológicos da teoria de
designer instrucional da EMR, a partir da
heurística dos modelos emergentes. O
designer instrucional foi desenvolvido para
o ensino dos tópicos de geometria analítica
voltados aos alunos do 3º ano do Ensino
Médio de uma escola localizada na zona
rural.
O contexto da pesquisa ocorreu com
a exploração do fenômeno da “gabaritagem
de terra”
ii
por meio de discussões e vídeo
filmagem. A propriedade rural onde
ocorreu a investigação está localizada no
entorno de um projeto de assentamento no
município de São João do Araguaia-PA,
pertencendo a uma moradora local que
utiliza a extração da polpa da fruta como
atividade econômica destinada à aquisição
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
9
de renda extra à manutenção do núcleo
familiar.
As ações ocorreram considerando as
necessidades da turma, trabalhando na
perspectiva de apresentar uma tarefa de
suporte para atingir os objetivos de
aprendizagem e, com isso, desenvolver os
conceitos em estudo acerca de geometria
analítica, conforme quadro a seguir:
Quadro 2. Trajetória hipotética de aprendizagem para o ensino de geometria analítica, segundo os pressupostos
da EMR.
Objetivo de Aprendizagem
Conceitos
Tarefa de Suporte
Compreender elementos do plano
cartesiano
Ponto, plano e eixos
Observar o processo de
gabaritagem de terra na plantação
de maracujá e modelar a situação
matematicamente.
Representar pontos no plano
cartesiano
Pares de coordenados
Observar o processo de
gabaritagem de terra na plantação
de maracujá e modelar a situação
matematicamente.
Definir distância e alinhamento
entre pontos
Distância entre dois pontos e
alinhamento entre três pontos
Problema contextual de 2ª ordem
Fonte: dados da pesquisa (2019)
As tarefas de suporte foram
vinculadas aos princípios da EMR,
considerando nossos objetivos de
aprendizagem. Essas tarefas consistiram na
apresentação da prática da gabaritagem de
terra na prática do plantio de maracujá,
conforme enunciado anteriormente, onde, a
partir dela, elaborou-se o problema
contextual de 2ª ordem, segundo De Lange
(1987).
Roteiro de intervenção
A intervenção realizada em sala de
aula seguiu 7 passos, abaixo definidos:
1- Apresentação de vídeo filmagem
sobre o plantio de maracujá aos alunos,
configurando uma prática da realidade
campesina, estabelecendo maior ênfase ao
fenômeno da gabaritagem de terra. O vídeo
foi produzido para compor o material
didático a ser utilizado em sala.
2- Momento de discussões para os
alunos expressarem oralmente o que
compreenderam sobre o fenômeno
exposto, no intuito de proporcionar
construções mentais das primeiras relações
matemáticas.
3- Trazer problematizações para as
discussões dos alunos sobre os
conhecimentos geométricos presentes na
gabaritagem de terra, objetivando
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
10
desenvolver em nível mais abstrato os
conceitos de ponto, plano, eixo, plano
cartesiano e pares de coordenadas.
4- Construção de maquete em grupos
representando o fenômeno da gabaritagem
de terra na prática do plantio de maracujá,
como forma dos alunos estarem colocando
em prática o conhecimento geométrico
desenvolvido nos passos anteriores.
5- Fazer a problematização dos
conceitos geométricos em estudo a partir
da maquete representativa da gabaritagem
de terra para assim se aproximar de um
nível mais geral da matemática escolar.
6- Demonstração no quadro das
fórmulas necessárias para efetuar o cálculo
de distância entre dois pontos e
alinhamento entre três pontos através de
problematizações contextualizadas ao
fenômeno em estudo.
7- Desenvolvimento de questões
sobre distância entre dois pontos e
alinhamento de três pontos a partir do
problema contextual.
Discussões e Resultados
O desenvolvimento dos conceitos de
geometria analítica emergiu através do
problema contextual sobre a gabaritagem
de terra na prática do plantio de maracujá,
produzido pelo professor, que assume
função mediadora no processo. O
problema a seguir se classifica como um
problema contextual de segunda ordem,
nos termos discutidos por De Lange
(1987), onde o estudante é confrontado
com uma situação realística e dele é
esperado que encontre ferramentas
matemáticas para organizar, estruturar e
resolver a tarefa.
Problema Contextual
As mudas de maracujá, antes de
crescerem, necessitam serem plantadas
próximas de estacas de madeira com
espaçamento uniforme e que recebem no
seu topo fios de arame que seguem uma
única direção para assim o maracujazeiro
se desenvolver facilmente. Este método de
seguir uma uniformidade é denominado de
“gabaritar a terra”, sendo que de uma
estaca para a outra as distâncias são
equivalentes.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
11
Figura 3. Gabaritagem de terra: à esquerda, o processo no qual se fincam as estacas no solo seguindo uma
uniformidade de distância entre elas; à direita, as mudas prontas para a colheita.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Durante o procedimento de
gabaritagem da terra, a distância de fixação
das estacas é de 2m (metros) uma da outra.
Deste modo, facilitando o processo de
desenvolvimento das mudas até a coleta
dos frutos.
A partir da exploração desta
característica específica do plantio de
maracujá foram coletadas informações
para servir de base nos estudos,
fomentando os primeiros modelos
emergentes de organização. A seguir,
analisamos as fases do designer
instrucional a partir dos níveis dos modelos
emergentes (situacional, referencial, geral
e formal) - conforme eles foram sendo
atingidos pelos estudantes- no intuito de
focalizar na contribuição do processo para
a transição de raciocínios intuitivos e
informais para modos de raciocínios mais
sofisticados e formais.
Nível Situacional
Considerando os modelos
emergentes, o nível situacional foi obtido a
partir do engajamento dos alunos nessa
observação inicial do vídeo didático,
traduzindo em um problema contextual.
Tratou-se da exploração fenomenológica,
nos termos dos princípios da EMR, onde as
situações são experiencialmente reais para
os alunos, destinados a apoiar um processo
de formalização conceitual a partir de
raciocínios informais. Como uma atividade
rica na geração de uma matematização
horizontal, os alunos foram convidados a
assistir e descrever o ambiente da
plantação de maracujá, tentando observar
entidades matemáticas gerais que mais
tarde seriam discutidas. Neste designer
instrucional, a matemática convencional
pode ser reinventada, gerando
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
12
oportunidade de uma matematização
progressiva.
Nível Referencial
Em um segundo momento foi solicitado
aos estudantes que observassem a
disposição das estacas no solo,
considerando a visualização do vídeo, e
construíssem uma representação sobre isso.
O modelo a seguir foi definido pelos
estudantes, sendo que cada estaca foi
representada por uma “bolinha preta”,
numerada de 1 a 20, imaginando uma
visualização aérea do plantio de maracujá,
conforme processo de gabaritagem de
terra. Nesse modelo, foi considerado um
pequeno plantio com 20 pés de
maracujazeiros, equidistantes 2 metros um
do outro, conforme se observa abaixo:
Figura 4. Modelo esquemático representando as estacas para o plantio de maracujá.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
A figura a seguir mostra o modelo
desenvolvido pelos estudantes durante a
intervenção em sala de aula, vejamos:
Figura 5. Modelo esquemático construído pelos estudantes representando o posicionamento das estacas após o
processo de gabaritagem.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
13
A partir dessa construção, observa-se
que o nível referencial foi atingido pelos
estudantes, a partir da construção de um
modelo esquemático, baseado nas
configurações iniciais do problema
contextual: o posicionamento das estacas
da plantação de maracujá.
Nível Geral
Com base no modelo esquemático
anterior, os alunos foram convidados a
imaginar esses pontos em um plano de
eixos cartesianos, ampliando a ideia do
modelo situacional para um modelo mais
geral. Desse modo, passou-se a
compreender os pontos numa perspectiva
de plano cartesiano, um modelo que já não
dependia somente do problema contextual
inicialmente dado, alcançando segundo os
modelos emergentes, o nível geral, em uma
evolução de raciocínio matemático.
Figura 6. Modelo esquemático considerando o plano de eixos cartesianos.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Neste modelo esquemático, cada
estaca representa um ponto; e a terra, o
plano. Com o auxílio de um sistema de
eixos associados a um plano, fez-se
corresponder a cada ponto do plano um par
de coordenadas e vice-versa.
Nível Formal
A abordagem adotada para se
alcançar o nível formal, segundo os
modelos emergentes, partiu de situações-
problemas, baseadas no problema
contextual inicialmente dado. No nível
formal, os alunos raciocinaram sobre os
conceitos da geometria analítica, usando
notações convencionais, a partir de uma
reinvenção guiada pelo professor. Para
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
14
isso, foram trabalhados durante as aulas os
dois tópicos de geometria analítica já
discutidos anteriormente, no intuito de
fornecer material de suporte ao processo
investigativo.
Os nomes dos sujeitos que constam
nas sessões problemas a seguir são
fictícios, sendo que todas as atividades
enunciadas nesse estágio foram realizadas
em sala de aula e os alunos já
apresentavam um conhecimento prévio
sobre os tópicos de geometria analítica
estudados na intervenção.
Situação problema 1- Distância entre
dois pontos:
Supondo que pretendemos
determinar a distância entre Ismael e
Tiago, ao saber que eles estão posicionados
nas estacas 16 e 8, respectivamente (como
observado na figura 7), qual seria essa
distância?
Figura 7. Modelo esquemático de distância entre os dois pontos.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Os alunos, ao traçar dois eixos
imaginários correspondentes aos eixos das
ordenadas e abscissas, na representação do
plantio de maracujá, foram questionados
sobre qual seria a distância entre Ismael e
Tiago, conforme é apresentado na situação
problema, estando nos pontos (0,6) e (4,2),
respectivamente.
Sabendo-se que a distância entre dois
pontos, é dada pela equação:
,
Os alunos desenvolveram a resolução
do problema da seguinte forma:
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
15
Figura 8. Resolução do problema desenvolvida pelos estudantes, aluno A à esquerda e aluno B à direita.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Ao efetuarem os cálculos, os
estudantes obtiveram como resposta o
resultado 5,65, de modo que a distância
entre Ismael e Tiago é de,
aproximadamente, 5 metros e 65
centímetros. A resolução desta situação
problema pelos estudantes evidencia que a
sequência das ações realizadas foi capaz de
promover raciocínios formais e
apropriação da linguagem matemática,
dada a correta aplicação da fórmula de
distância entre dois pontos pelos
estudantes.
Situação problema 2- Alinhamento de
três pontos
Imagine a situação: Ismael, Tiago e
Mateus, estão coletando os frutos do
maracujá, e cada um está em uma
determinada estaca. Sabendo que Ismael
está na estaca 16, Tiago na estaca 12 e
Mateus na estaca 5. Considerando que os
funcionários têm que trabalhar de forma
alinhada para um melhor rendimento da
colheita, diminuindo assim o tempo de
coleta e aumentando a produtividade.
Vamos ajudar Ismael, Tiago e Mateus
verificando se os mesmos estão ou não
alinhados na plantação de maracujá.
Figura 9. Modelo esquemático de alinhamento de três pontos.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
16
Sabemos que, a partir de três pontos
A( ), B( ) e C( ), eles
estarão alinhados se, e somente se,
= 0. Os alunos foram capazes
de identificar os três pontos que
representavam a posição das estacas onde
estavam os funcionários, conforme
ilustração 10: estaca 16 (0,6), estaca 12
(2,4) e a estaca 5 (8,0). Para verificar assim
se estes três pontos estavam alinhados
considerando o posicionamento no plantio,
os estudantes desenvolveram a Regra de
Sarrus na matriz formada a partir dos
pontos:
Figura 11. Resolução do problema desenvolvida pelos estudantes, aluno A à esquerda e aluno B à direita.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Os alunos obtiveram como resposta o
valor do determinante igual a 4, não
satisfazendo a condição de alinhamento,
pois seu valor teria que ser igual a zero
(det = 0). Nesse caso, os alunos
conseguiram abstrair, a partir da situação
realística posta, conceitos chaves no campo
da geometria cartesiana, bem como
conseguiram avançar no entedimento de
regras de resolução, evidenciando que as
ações realizadas têm potencial para o
desenvolvimento de conceitos para ensinar
matemática no campo.
Desta forma, ao analisarmos as duas
situações problemas expostas
anteriormente, podemos considerar que os
alunos conseguiram utilizar a linguagem
matemática apropriada para chegar ao
resultado do problema, extraindo
informações e utilizando estratégias
informais (matematização horizontal), para
então utilizar símbolos e algoritmos
matemáticos convencionais
(matematização vertical).
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
17
Articulação com os pressupostos teórico-
metodológicos da EMR
No decorrer da intervenção em sala
os alunos foram instruídos a construir
modelos, nos termos propostos por
Zandieh e Rasmussen (2010), na medida
em que os conceitos de plano cartesiano,
distância e alinhamento entre pontos,
relação entre eixo e pares de coordenadas
foram sendo desenvolvidos em sala de
aula. O fluxograma abaixo ilustra de modo
simplificado as relações estabelecidas no
designer instrucional.
Figura 11. Fluxograma demonstrativo das relações entre os princípios da EMR e os objetivos de aprendizagem e
tarefas de suporte
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Em análise ao fluxograma, consideramos
que os princípios da EMR foram atingidos
durante a intervenção em sala de aula,
conforme quadro articulador a seguir:
Quadro 3: Princípios da EMR e como foram atingidos durante a intervenção em sala
Princípios da EMR
Como se atingiu
Exploração fenomenológica
Na exposição do vídeo tutorial apresentando o fenômeno em estudo (a
gabaritagem de terra na prática do plantio de maracujá), deste modo, os
alunos tiveram contato com uma situação experiencialmente real.
Uso de modelos e símbolos
para matematização
progressiva
A partir do momento que os alunos começaram a desenvolver os conceitos
geométricos em estudos provenientes da exploração do problema contextual,
sendo mais notório nos momentos de discussões e problematizações sobre a
temática, possibilitando uma evolução natural do conhecimento.
Uso da própria construção dos
alunos
Na exploração do fenômeno em estudo durante a construção da maquete,
pois os alunos puderam estar se organizando de diferentes modos. E nas
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
18
discussões e problematizações onde se partiu do conhecimento dos
estudantes para se alcançar níveis mais formais.
Interatividade
No processo de realização de todas as ações planejadas para acontecerem em
sala de aula, com maior ênfase durante a construção da maquete
representativa da gabaritagem da terra, instigando os alunos a aplicarem os
conhecimentos geométricos em desenvolvimento a partir de uma situação
propícia para proporcionar a aproximação de modelos mais gerais da
matemática.
Interconexão
Quando os alunos precisaram mobilizar outros domínios da matemática para
resolver as situações problemas de cálculo de distância entre dois pontos e
alinhamento entre três pontos, utilizando recursos como a fórmula para
calcular a distância fazendo relação com o teorema de Pitágoras, o cálculo
de determinante através de matrizes 3x3 (a Regra de Sarrus) para determinar
o alinhamento dos pontos. Assim, no estudo de geometria analítica a
interconexão apresenta-se como uma ferramenta presente em todos os
processos ao juntar a álgebra com a geometria.
Fonte: dados da pesquisa (2019).
Portanto, ao articularmos nossas
ações com os princípios da EMR,
percebemos que a contribuição foi positiva
para o processo de ensino dos tópicos de
geometria analítica por apresentar uma
metodologia própria que está na contramão
dos métodos tradicionais de ensino,
fazendo um movimento de mobilização
dos conhecimentos matemáticos presentes
nas práticas socioculturais para o espaço
escolar.
Conclusão
Duas práticas matemáticas
específicas foram promovidas ao longo da
abordagem empírica: i) a construção de um
modelo de pontos em um plano,
considerando as estacas do plantio de
maracujá; ii) raciocínio sobre o plano
cartesiano, incluindo a relação de eixos
com pares de coordenadas. Uma
interconexão entre vários domínios
matemáticos foi favorecida, como uso de
matrizes e determinantes, e conceitos
primitivos da geometria plana, alguns
naturalmente emergidos pela natureza do
objeto matemático em questão: geometria
analítica como o estudo da geometria plana
e espacial em uma perspectiva algébrica.
Essas práticas matemáticas surgiram
através de problemas contextuais sendo
possibilitadas pelo ambiente de
aprendizagem projetado pela EMR. Esse
ambiente permitiu que os estudantes
produzissem suas ideias, em um processo
examinador e interacionista a fim de
evoluir de níveis de entendimentos
informais para raciocínios formais. Nesses
termos, uma contribuição inicial vem
mostrar que a EMR pode favorecer
práticas e objetivos matemáticos e
desenvolver o nível do entendimento
conceitual.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
19
Especificamente na abordagem dos
problemas contextuais desenvolvidos,
destacam-se alguns outros aspectos: (1)
modelo textual com fins formativos
conceituado em situações realísticas; (2)
formulação de esquemas matemáticos
possibilitados através dos enunciados; (3)
Promoção didático-metodológica para
explicação e resolução dos problemas. Tais
destaques indicam a EMR e a heurística
dos modelos emergentes como um
designer instrucional significativo para o
processo de ensino-aprendizagem de
Geometria Analítica no espaço de escolas
rurais, superando, em termos de
matematização, abordagens tradicionais de
ensino.
Considerando que os caminhos
metodológicos utilizados pelo professor
em sala de aula afetam o rendimento
escolar de seus estudantes, os princípios
fundamentais da EMR ao referendarem o
processo de construção das aulas do
professor pautando no ambiente escolar os
níveis de aprendizagem dos modelos
emergentes favorece diretamente a
perspectiva de determinado conhecimento
matemático, promovendo raciocínios mais
sofisticados e formais.
Ensinar geometria analítica partindo
de contextos das práticas socioculturais
desenvolvidas nas comunidades dos
estudantes, portanto, se torna uma
discussão plausível, tendo em vista que na
maioria das escolas rurais quando é
apresentado o conteúdo de Geometria
Analítica, mostra-se de modo técnico e
abstrato.
O ensino de matemática nas
comunidades rurais origina uma gama de
produção de problemas contextuais
realísticos, que possibilita à valorização
dos saberes matemáticos intrínsecos as
atividades cotidianas dos diferentes grupos
sociais ali presentes e merecem maior
apropriação teórico-metodológica por parte
dos educadores. Assim, a Educação
Matemática Realística pode ser uma via
promissora de exploração didática.
Referências
De lange, J. (1987). Mathematics, insight
and meaning. Utrecht: OW & OC.
De Lange, J. (1999). Framework for
classroom assessment in mathematics.
Madison: WCER.
Ferreira, P. E., & Buriasco, R. L. (2015).
Enunciados de tarefas de matemática
baseados na perspectiva da Educação
Matemática Realística. Bolema, 29(52),
452-472. https://doi.org/10.1590/1980-
4415v29n52a02
Ferreira, P. E., & Buriasco, R. L. (2016).
Educação matemática realística: uma
abordagem para os processos de ensino e
de aprendizagem. Educação Matemática
Pesquisa, 18(1), 237-252.
Freudenthal, H. (1983). Didactical
phenomenology of mathematical
structures. Kluwer Academic Publishers
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
20
New York, Boston, Dordrecht, London,
Moscow.
Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing
Realistic Mathematics Education. CD-ß
Press/Freudenthal Institute, Utrecht, The
Netherlands.
Gravemeijer, K. (1999). How emergent
odels May Foster the constitution of formal
mathematics. Mathematical Thinking and
Learning, 1(2), 155-177.
https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0102
_4
Gravemeijer, K. P. E., & Terwel, J. (2000).
Hans Freudenthal: a mathematician on
didactics and curriculum theory. Journal of
Curriculum Studies, 32(6), 777-796.
Gravemeijer, K., Bowers, J., & Stephan,
M. (2003). Chapter 4: A Hypothetical
Learning Trajectory on Measurement and
Flexible Arithmetic. In Stephan, M;
Bowers, J; Cobb, P. Journal for Research
in Mathematics Education (pp. 51-66).
Retrieved from:
https://www.researchgate.net/publication/4
6654962_Supporting_students'_developme
nt_of_measuring_conceptions_Analyzing_
students'_learning_in_social_context_Jour
nal_for_Research_in_Mathematics_Educat
ion_Monograph_No_12, accessed on
November 7, 2019.
Gravemeijer, K. (2004). Learning
trajectories and local instruction theories as
means of support for teachers in reform
mathematics education. Mathematical
Thinking and Learning, 6(2), 105-128.
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira - INEP.
(2011). Microdados do Sistema Nacional
de Avaliação da Educação Básica - SAEB.
Brasília: INEP.
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais Anísio Teixeira - INEP.
(2018). Microdados do Sistema Nacional
de Avaliação da Educação Básica - SAEB.
Brasília.
Rasmussen, C., & Blumenfeld, H. (2007).
Reinventing solutions to systems of linear
differential equations: A case of emergent
models involving analytic expressions.
Journal of Mathematical Behavior, 26(3),
195-210.
https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2007.09.0
04
Treffers, A., & Goffree, F. (1985).
Rational analysis of realistic mathematics
education – the Wiskobas program’. In
Streefland, L. (Ed.). Proceedings of the
Ninth International Conference for the
Psychology of Mathematics Education (pp.
97–121). OW&OC; Utrecht University;
Utrecht; The Netherlands.
Treffers, A. (1987). Mathematics
education library. Three dimensions: A
model of goal and theory description in
mathematics instruction-the Wiskobas
Project. Dordrecht, Netherlands: D Reidel
Publishing Co.
Treffers, A. (1991). Didactical background
of a mathematics program for primary
education. In Streefland, L. (Ed.). Realistic
Mathematics Education in Primary School
(pp. 21–57). CD-ß Press, Utrecht.
Van Den Heuvel-Panhuizen, M. (2005).
The role of contexts in assessment
problems in mathematics. For the
Learning of Mathematics, 25(2), 2-9.
Zandieh, M., & Rasmussen, C. (2010).
Defining as a mathematical activity: A
framework for characterizing progress
from informal to more formal ways of
reasoning. Journal of Mathematical
Behavior, 29(2), 57-75.
i
Em uma perspectiva pedagógica, matematizar é
explorar contextos de modo a compreendê-
los/organizá-los matematicamente.
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., & Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística: uma
abordagem teórico-metodológica para o ensino de matemática nas escolas do campo...
Tocantinópolis/Brasil
v. 5
e7879
10.20873/uft.rbec.e7879
2020
ISSN: 2525-4863
21
ii
A gabaritagem de terra é o processo pelo qual se
define ou prepara a terra com distanciamento
equidistantes entre estacas para implementação de
uma cultura.
Informações do artigo / Article Information
Recebido em : 07/11/2019
Aprovado em: 20/01/2020
Publicado em: 29/05/2020
Received on November 07th, 2019
Accepted on January 20th, 2020
Published on May, 29th, 2020
Contribuições no artigo: Os autores foram os
responsáveis por todas as etapas e resultados da
pesquisa, a saber: elaboração, análise e interpretação dos
dados; escrita e revisão do conteúdo do manuscrito
e; aprovação da versão final publicada.
Author Contributions: The author were responsible for
the designing, delineating, analyzing and interpreting the
data, production of the manuscript, critical revision of the
content and approval of the final version published.
Conflitos de interesse: Os autores declararam não haver
nenhum conflito de interesse referente a este artigo.
Conflict of Interest: None reported.
Orcid
Marcos Guilherme Moura-Silva
http://orcid.org/0000-0003-3589-1897
Rayza de Oliveira Souza
http://orcid.org/0000-0002-8934-8614
Tadeu Oliver Gonçalves
http://orcid.org/0000-0002-2704-5853
Ruy Guilherme Braga Borges
http://orcid.org/0000-0001-7421-0105
Como citar este artigo / How to cite this article
APA
Moura-Silva, M. G., Souza, R. O., Gonçalves, T. O., &
Borges, R. G. B. (2020). Educação matemática realística:
uma abordagem teórico-metodológica para o ensino de
matemática nas escolas do campo. Rev. Bras. Educ.
Camp., 5, e7879. http://dx.doi.org/10.20873/uft.rbec.e7879
ABNT
MOURA-SILVA, M. G.; SOUZA, R. O; GONÇALVES, T.
O.; BORGES, R. G. B. Educação matemática realística:
uma abordagem teórico-metodológica para o ensino de
matemática nas escolas do campo. Rev. Bras. Educ.
Camp., Tocantinópolis, v. 5, e7879, 2020.
http://dx.doi.org/10.20873/uft.rbec.e7879